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最も2.5.9.11.13.17.19.21に近似する音律 | 13平均律の音程と近似値 | 13平均律の音階 | 13平均律のハーモニー | 13平均律の記譜法と作曲のアプローチ | コンマをなだらかにする

最も2.5.9.11.13.17.19.21に近似する音律

13平均律は周波数比2のオクターブを13個の均等なパートに分割するシステムを参照する。それは6番目の素数平均律であり、11平均律の後であり17平均律の前の平均律である。600セントより小さいステップ(6ステップ、553.84セント)は、最も近い12平均律の近似よりも狭い。そして600セントより大きいもの(7ステップ、646.15セント)は幅広い。これは巧妙な耳のトリックを起こす。12平均律から連想されるメロディーは、慣れていない場所へ素早くたどり着く。

21アドリミットJIのテンペラメントとしてみなすと、13平均律は素晴らしい11番目と21番目の倍音に近似する。そして59131719倍音にもそれなりに近づくことができる。一番の目的は、37、15倍音の近似と認識するものを与えないことである。3倍音の響きとそれなりに近い響きが発生しないということは、13平均律が慣習的な音楽に適していないということを示す。しかし111321の周波数とはとても良い近似値であり、とてもゼンハーモニックチューニングを作り出す。これらの独自性は12平均律の表現から離れはしないけれども。評価は不協和であるものの、それは2.5.9.11.13.17.19.21サブグループであり、素晴らしいランク1のテンペラメントである。そして小さいサイズのための、複雑に一致する多くのレパートリーを持つ。

13平均律の音程と近似値

The “neighborhood” of JI」の一覧はこちらhuygens-fokker)を参照のこと。各周波数比の大きさが16以内で表現される純正音程は以下のようになる。これはedjirulerを用いて、[number of equal divisions=13, interval of equivalence=2, integer limit=16, threshold of JI pitch inclusion=0.2]というパラメータで生成したものである。
EDO
interval
cent
DMS
The "neighborhood" of JI
Japanese name
ratio
diff cent
cent
diff DMS
DMS
13
0
0.00
0.00








1
92.31
27.69








2
184.62
55.38
minor whole tone
小全音
10/9
2.21
182.40
0.66
54.72

3
276.92
83.08
septimal minor third
7リミットの短3度
7/6
10.05
266.87
3.02
80.06

3
276.92
83.08
tridecimal minor third
13リミットの短3度
13/11
-12.29
289.21
-3.69
86.76

4
369.23
110.77
tridecimal neutral third
13リミットの中立3度
16/13
9.76
359.47
2.93
107.84

4
369.23
110.77
major third
長3度
5/4
-17.08
386.31
-5.12
115.89

5
461.54
138.46
tridecimal semi-diminished fourth
13リミットの準減4度
13/10
7.32
454.21
2.20
136.26

6
553.85
166.15
undecimal augmented fourth
11リミットの増4度
15/11
16.90
536.95
5.07
161.09

6
553.85
166.15
undecimal semi-augmented fourth
11リミットの準増5度
11/8
2.53
551.32
0.76
165.40

7
646.15
193.85
tridecimal diminished fifth
13リミットの減5度
13/9
9.54
636.62
2.86
190.99

7
646.15
193.85
undecimal semi-diminished fifth
11リミットの準減5度
16/11
-2.53
648.68
-0.76
194.60

8
738.46
221.54








9
830.77
249.23
minor sixth
短6度
8/5
17.08
813.69
5.12
244.11

9
830.77
249.23
tridecimal neutral sixth
13リミットの中立6度
13/8
-9.76
840.53
-2.93
252.16

10
923.08
276.92
septimal major sixth
7リミットの長6度
12/7
-10.05
933.13
-3.02
279.94

11
1015.38
304.62
just minor seventh, BP seventh
純正短7度、ボーレン・ピアスの7度
9/5
-2.21
1017.60
-0.66
305.28

12
1107.69
332.31








13
1200.00
360.00









13平均律の音階

13という素数の特徴によって、13平均律はいくつかのゼンハーモニックMOS音階(moment of symmetry scales)を形作る。下のダイアグラムはMOS音階の5音「ファミリー」を示す。これらは21313平均律の2音程)、3134135136//13のチェーンによって作成される。


13edo_horograms.jpg



Ery Wilsonが先駆者となったホラグラムをもとに、Andrew Heathwaiteが作成したダイアグラム。

13平均律のもう一つのきちんとした様相として、余分な半音を加えるか、現在の半音を全音に変えることで、どんな12平均律の音階も13平均律の音階に「変えられる」ということである。このため、13平均律のメロディーはとても不思議で、類似した方法でフレーズを始めると、即座に予想外の何かに導かれる。

13平均律のハーモニー

一般的な考えとは逆に、13平均律で協和音は可能である。しかし12平均律やピタゴラス、ミーントーンなどをベースとしたチューニングの使い方とは徹底的に異なったアプローチを要求する。一般的な12平均律の長3和音や短3和音の近似値を13平均律の中で試みるとき、ゴールを0-3-70-4-70-3-80-4-8とするなら、13平均律では荒くなるので通常断念せざるを得ない。13平均律で通常最も協和するハーモニーは、「3度の積み重ね」ではない。13平均律の最も強い不協和は、オクターブのミドルトーン、つまり音程が678ステップに近い時である。代わりに、全音の積み重ね、または全音と短3度のミックスの積み重ねで、しばしば良い結果が生み出される。たとえば、13平均律をハーモニック2.5.9.11.13のテンペラメントサブグループとしてみなす方法である。これは実際見事に演じる。そして4:5:9:11:13に近い0-4-15-19-22のコードはとても人を納得させる。より大きなサブグループは、2*13 subgroup2.9.5.21.11.13である。1326ETのようなコンマとチューニングをもつ。

この場合、私たちは13平均律の長9度が12平均律の完全5度や他のミーントーン平均律と似ていると想定することができる。これは11/85/4などが続く13平均律において、長2度や長9度が2/1に次いで最も協和することを意味する。4:5:9コードはそれゆえ基本的な13平均律のトライアドであると考えることができる。

2.9.5.11.13サブグループは、45/4465/64,そして81/80コンマを持ち、POTEジェネレーター185.728セントとともにリニアーテンペラメントを導く。それは非常に2//13に近い。これをジェネレーターとして使うと、そして7音(6L1s)の2つの完全なペンタを利用する。同様に2つの4:5:9:11テトラと、1つの4:5:9:13テトラも利用できる。これらのトライアドとテトラは、13平均律の中でおそらくもっとも協和するベースソノリティーであり、長3和音や短3和音と似た手法を演じるという想定ができる。しかしながら、ほかのOrwellコードのようなソノリティーも同時に感じられる。

のアプローチは特定の作曲家と理論家によって探求されており、大まかなものは下に示される。

Play the 4:5:9 chord:


Play the 4:5:9:11 chord:


Play the 4:5:9:13 chord:


Play the 4:5:9:21 chord:


13平均律の記譜法と作曲のアプローチ

13平均律は多くの作曲家や理論家から興味を持たれており、何人かは記譜法と作曲に関するアプローチの提案を行っている。

コンマをなだらかにする

13平均律を<13 21 30 36 45 48|ヴァルとみなした時、次のリストのコンマをテンパーアウトする。

Comma
Monzo
Value (Cents)
Name 1
Name 2
Name 3
2109375/2097152
| -21 3 7 >
10.06
Semicomma
Fokker Comma

1029/1000
| -3 1 -3 3 >
49.49
Keega


525/512
| -9 1 2 1 >
43.41
Avicennma
Avicenna's Enharmonic Diesis

64/63
| 6 -2 0 -1 >
27.26
Septimal Comma
Archytas' Comma
Leipziger Komma
64827/64000
| -9 3 -3 4 >
22.23
Squalentine


3125/3087
| 0 -2 5 -3 >
21.18
Gariboh


3136/3125
| 6 0 -5 2 >
6.08
Hemimean


121/120
| -3 -1 -1 0 2 >
14.37
Biyatisma


441/440
| -3 2 -1 2 -1 >
3.93
Werckisma