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15 japanese.png
Wikipediaから
音楽において、15 equal temperament15TET15EDO、または15ETと呼ばれる。15平均律はオクターブを15の均等なステップに分割し、テンパーされた音階である。各ステップは周波数比2^(1/15)、または80セントである。5平均律が3つの音階、または3平均律が5つの音階と解釈することが可能である。

15平均律は7リミットにもとづく音程に近いいくつかの音程を持つため、7リミットテンペラメントとして見なすことが可能である。しかしまた、明らかに11リミット音程に近い音程もいくつか含んでいる。ゆえに、11リミットテンペラメントとして述べることが合理的である。しかし12平均律の3度と9度の響きからは離れているため、15平均律に近いJIを探すことは、要求されているそれらのコードを避けることがベストだと考えられる。もしくは、注意深く扱う必要がある。15平均律はまた、明確なシントニックコンマを持つ5アドリミットインターバル(3/25/46/5)の表現と、異なっていると認識できる最も小さい平均律である。このことは注目に値する。

15平均律のシステムにおいて、メジャーサードは21200cent)を完全に分割できず、そして一般の3全音(600セント)の欠如と結びつく。このチューニングは、はじめ方向感覚を失わせる。しかしながら、ギターは12音システムギターと異なり、Eからe、または6弦から1弦のように対照的にチューニングできる。カーブを学ぶことはとても管理しやすい。すべてのコードはどこでも同じ転調のようにみえ、マイナーアルペジオは垂直に積み重ねられ、とても簡単に演奏できる。15音はたぶん誰もがより優れたハーモニーとゼンハーモニー、音数の管理のしやすさ、5平均律の重なりによる音の特徴に興味を持つ、有望な駆け出しとなる。

15平均律の音程と近似値

各周波数比の大きさが16以内で表現される純正音程は以下のようになる。これはedjirulerを用いて、[number of equal divisions=15, interval of equivalence=2, integer limit=16, threshold of JI pitch inclusion=0.25]というパラメータで生成したものである。「The “neighborhood” of JI」の一覧はこちらhuygens-fokker)を参照のこと。
EDO
interval
cent
DMS
The "neighborhood" of JI
Japanese name
ratio
diff cent
cent
diff DMS
DMS
15
0
0.00
0.00








1
80.00
24.00








2
160.00
48.00
3/4-tone, undecimal neutral second
3/4全音、11リミットの中立的な2度
12/11
9.36
150.64
2.81
45.19

2
160.00
48.00
4/5-tone, Ptolemy's second
4/5全音、プトレマイオスの2度
11/10
-5.00
165.00
-1.50
49.50

3
240.00
72.00
septimal whole tone
7リミットの全音
8/7
8.83
231.17
2.65
69.35

3
240.00
72.00
tridecimal 5/4-tone
13リミットの5/4全音
15/13
-7.74
247.74
-2.32
74.32

4
320.00
96.00
minor third
短3度
6/5
4.36
315.64
1.31
94.69

5
400.00
120.00
major third
長3度
5/4
13.69
386.31
4.11
115.89

5
400.00
120.00
undecimal diminished fourth or major third
11リミットの減4度または長3度
14/11
-17.51
417.51
-5.25
125.25

6
480.00
144.00
perfect fourth
完全4度
4/3
-18.04
498.04
-5.41
149.41

7
560.00
168.00
undecimal semi-augmented fourth
11リミットの準増5度
11/8
8.68
551.32
2.60
165.40

8
640.00
192.00
tridecimal diminished fifth
13リミットの減5度
13/9
3.38
636.62
1.01
190.99

8
640.00
192.00
undecimal semi-diminished fifth
11リミットの準減5度
16/11
-8.68
648.68
-2.60
194.60

9
720.00
216.00
perfect fifth
完全5度
3/2
18.04
701.96
5.41
210.59

10
800.00
240.00
undecimal augmented fifth
11リミットの増5度
11/7
17.51
782.49
5.25
234.75

10
800.00
240.00
minor sixth
短6度
8/5
-13.69
813.69
-4.11
244.11

11
880.00
264.00
major sixth, BP sixth
長6度、ボーレン・ピアスの6度
5/3
-4.36
884.36
-1.31
265.31

12
960.00
288.00
harmonic seventh
協和する7度
7/4
-8.83
968.83
-2.65
290.65

13
1040.00
312.00
21/4-tone, undecimal neutral seventh
21/4全音、11リミットの中立7度
11/6
-9.36
1049.36
-2.81
314.81

14
1120.00
336.00








15
1200.00
360.00








イメージ

15edo wheel.png15edo wheel 02.png15edo wheel 03.png

12平均律の音程と近似値

15平均律は6/55/3といった周波数比5の中で、12平均律以上にいくつかの小さな改善点を提案する。そしてよりよい7倍音11倍音の響きの近似を持つ。しかし3倍音からは離れる。この近似から抜け出すための特別な方法を行うと、バグと同様にたくさんの特徴をもつ、5L5sMOS音階を構築する。5L5sMOS音階の各音は7リミットオトーナルとウトーナルテトラのためのルートとして役立つ。同様に5リミットのメジャーまたはマイナーセブンスコードとしても役立つ。ウトーナルとはいくつかの周波数の最大公倍数のリミットを差し、オトーナルとは最大値をさす。たとえば10:12:15のコードは5リミットのウトーナリティであり、15リミットのオトーナリティである(otonality and utonality)。5L5sMOS音階はBlackwood temperamentとして知らており、Easley Blackwood, Jrから名づけられている。彼は初めてこれを文章で残した。この文章はまた、Igliashon Jonesにより、「Five is Not an Odd Number」で広範囲にわたり書かれている。15平均律の深いハーモニーの扱い方は、基本的にこのテンペラメントと711リミットの拡張にもとづく。Harmony in 15edo Blacksmith[10]もまた参照のこと。

記譜法

15平均律の記譜法にはさまざまな方法がある。そして記譜法の選択は、作曲家が重点を置く点が、ランク2テンペラメントなのか、MOS音階なのかに大きく依存している。

Blackwoodの記譜法

10進数バージョン:1から0010という意味)という言葉を使い、5平均律の3つのチェーンの1つは奇数によってあらわされる。偶数によって2番目が表される。そして3番目は臨時記号のついた数で表される。3番目の臨時記号は奇数にシャープをつけたものでも、偶数にフラットをつけたものでも構わない。

ギターバージョン:15平均律ギターにおいて、5平均律からうまれる「完全4度」のため、すべての開放弦は完全4度でチューニングすることが可能である。そして間隔は正確に2オクターブのままである。もしBから4度圏を始めるなら(B-E-A-D-G-(B))、その時開放弦は通常(E-A-D-G-B-E)として記録される。しかしながら、4度圏は5回で閉じてしまう。15平均律の残り10音に続かないのである。臨時記号を用いて5平均律の2つのチェーンを記録する必要がある。この記譜法は5平均律ではない、臨時記号を使う5線譜にもとづくものとしても、特別なものではない。しかしながらギターにおける15平均律の直感的アプローチが反映されているため、便利である。なぜなら5平均律は、フレットボードをナビゲートするのに便利な3リミットのランドマーク(完全4度や完全5度)のセットという利便性を提供するためである。コードチャートを書くのに特に便利で、そこでは独創的な臨時記号を表す記号は無視できる。

ポーキュパイン・ノーテーション

MOS音階の一種。porcupine notationを参照のこと。

ランク2テンペラメント

悪い15ETランク2テンペラメントのリスト
平均律とは異なった15ETランク2テンペラメントのリスト

Periods
per octave
Generator
Temperaments
1
1\15
Nautilus/valentine
1
2\15
Porcupine/opossum
1
4\15
Hanson/keemun/orgone
1
7\15
Progress
3
1\15
Augmented/augene
3
2\15
Triforce
5
1\15
Blackwood/blacksmith

コンマをなだらかにする

15平均律を< 15 24 35 42 52 56 |ヴァルとみなした時、次のリストのコンマをテンパーアウトする。

Comma
Monzo
Value (Cents)
Name 1
Name 2
Name 3
256/243
| 8 -5 >
90.22
Limma
Pythagorean Minor 2nd

250/243
| 1 -5 3 >
49.17
Maximal Diesis
Porcupine Comma

128/125
| 7 0 -3 >
41.06
Diesis
Augmented Comma

15625/15552
| -6 -5 6 >
8.11
Kleisma
Semicomma Majeur

1029/1000
| -3 1 -3 3 >
49.49
Keega


49/48
| -4 -1 0 2 >
35.70
Slendro Diesis


64/63
| 6 -2 0 -1 >
27.26
Septimal Comma
Archytas' Comma
Leipziger Komma
64827/64000
| -9 3 -3 4 >
22.23
Squalentine


875/864
| -5 -3 3 1 >
21.90
Keema


126/125
| 1 2 -3 1 >
13.79
Septimal Semicomma
Starling Comma

4000/3969
| 5 -4 3 -2 >
13.47
Octagar


1029/1024
| -10 1 0 3 >
8.43
Gamelisma


6144/6125
| 11 1 -3 -2 >
5.36
Porwell


250047/250000
| -4 6 -6 3 >
0.33
Landscape Comma


100/99
| 2 -2 2 0 -1 >
17.40
Ptolemisma


121/120
| -3 -1 -1 0 2 >
14.37
Biyatisma


176/175
| 4 0 -2 -1 1 >
9.86
Valinorsma


65536/65219
| 16 0 0 -2 -3 >
8.39
Orgonisma


385/384
| -7 -1 1 1 1 >
4.50
Keenanisma


441/440
| -3 2 -1 2 -1 >
3.93
Werckisma


4000/3993
| 5 -1 3 0 -3 >
3.03
Wizardharry


3025/3024
| -4 -3 2 -1 2 >
0.57
Lehmerisma


91/90
| -1 -2 -1 1 0 1 >
19.13
Superleap


676/675
| 2 -3 -2 0 0 2 >
2.56
Parizeksma



理論

The 15-Tone Scale System by Ivor Darreg Permalink
The Pentadecaphonic System
15-EDO Tutorial by Brent Carson Permalink

実践理論と本

Sword, Ronald. "Pendecaphonic Scales for Guitar" IAAA Press, UK-USA. First Ed: June 2009. 15平均律において知られている、すべての音階とテンペラメントファミリーのレポジトリ。300以上の例とコード進行がおさめられている。