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16平均律は正確に75セントで16のパートに、狭いクロマティック半音に分割する。低い整数比の音程はあまり発生しないが、6セントシャープされた7/4と、11セントフラットされた5/4を持つ。4//1612平均律と同じ短3度の300セントをもち、また12平均律と同じ値の4つのディミニッシュセブンスを持つ。そして同じ大きさの減3和音を持つ。

16平均律の音程と近似値

各周波数比の大きさが16以内で表現される純正音程は以下のようになる。これはedjirulerを用いて、[number of equal divisions=16, interval of equivalence=2, integer limit=16, threshold of JI pitch inclusion=0.25]というパラメータで生成したものである。「The “neighborhood” of JI」の一覧はこちらhuygens-fokker)を参照のこと。
EDO
interval
cent
DMS
The "neighborhood" of JI
Japanese name
ratio
diff cent
cent
diff DMS
DMS
16
0
0.00
0.00








1
75.00
22.50








2
150.00
45.00
tridecimal 2/3-tone
13リミットの2/3音
13/12
11.43
138.57
3.43
41.57

2
150.00
45.00
3/4-tone, undecimal neutral second
3/4全音、11リミットの中立的な2度
12/11
-0.64
150.64
-0.19
45.19

2
150.00
45.00
4/5-tone, Ptolemy's second
4/5全音、プトレマイオスの2度
11/10
-15.00
165.00
-4.50
49.50

3
225.00
67.50
septimal whole tone
7リミットの全音
8/7
-6.17
231.17
-1.85
69.35

4
300.00
90.00
tridecimal minor third
13リミットの短3度
13/11
10.79
289.21
3.24
86.76

4
300.00
90.00
minor third
短3度
6/5
-15.64
315.64
-4.69
94.69

5
375.00
112.50
tridecimal neutral third
13リミットの中立3度
16/13
15.53
359.47
4.66
107.84

5
375.00
112.50
major third
長3度
5/4
-11.31
386.31
-3.39
115.89

6
450.00
135.00
septimal major third, BP third
7リミットの長3度、ボーレン・ピアスの3度
9/7
14.92
435.08
4.47
130.53

6
450.00
135.00
tridecimal semi-diminished fourth
13リミットの準減4度
13/10
-4.21
454.21
-1.26
136.26

7
525.00
157.50
undecimal augmented fourth
11リミットの増4度
15/11
-11.95
536.95
-3.59
161.09

8
600.00
180.00
septimal or Huygens' tritone, BP fourth
7リミットまたはヒュイゲンの3全音、ボーレン・ピアスの4度
7/5
17.49
582.51
5.25
174.75

8
600.00
180.00
Euler's tritone
レオンハルト・オイラーの3全音
10/7
-17.49
617.49
-5.25
185.25

9
675.00
202.50








10
750.00
225.00
septimal minor sixth
7リミットの長6度
14/9
-14.92
764.92
-4.47
229.47

11
825.00
247.50
major sixth
長6度
8/5
11.31
813.69
3.39
244.11

11
825.00
247.50
tridecimal neutral sixth
13リミットの中立6度
13/8
-15.53
840.53
-4.66
252.16

12
900.00
270.00
major sixth, BP sixth
長6度、ボーレン・ピアスの6度
5/3
15.64
884.36
4.69
265.31

13
975.00
292.50
harmonic seventh
第7倍音
7/4
6.17
968.83
1.85
290.65

14
1050.00
315.00
21/4-tone, undecimal neutral seventh
21/4全音、11リミットの中立7度
11/6
0.64
1049.36
0.19
314.81

15
1125.00
337.50








16
1200.00
360.00








イメージ


16edo wheel 01.png


16音階オクターブ理論

16音階は1/4オクターブをピリオドとして、ディミニッシュドテンペラメントをサポートする。したがってジェネレーターサイズはすべて75セントで、理想より小さい。675セントの3/2はとてもフラットされており、Mavilaテンペラメントをサポートする。メジャーもマイナーもマッピングされたMavilaテンペラメントは、真逆のテンペラメントである。Mavilaテンペラメントは伝統的な300セントの短3度を均等に分割し、150セントの「3/4全音」をもつため人気がある。

16平均律はまた50/49をテンパーアウトする7リミットテンペラメントのno-threesチューニングである(No-threes map: [<2 0 1 1|, <0 0 1 1|])。またジェネレーターとして長3度フラットをもっており、516で表される。これにより71013のサイズをもつMOS音階となり、また本ページ下部の「マジック音階類」で表される。

Easley Blackwoodが以下を書いた:
16音:このチューニングは、4つの音からなるディミニッシュセブンスのコンビネーションとみなすのが最もよいと考えられる。なぜなら12平均の音とは、3つのディミニッシュセブンスのコンビネーションと見なすことができるので、2つのチューニングに要素が共通にあることは明らかなためである。2つのチューニングの音色および(work)機能の最も明白な差は、16平均律のトライアドである。認識可能ではあるけど、それはカデンツの終始音としてのハーモニーとして、あまりに不協和過ぎる。キーは、まだオルタードサブドミナントとドミナントハーモニーを継承し成り立っており、エチュードは主にこの特性にもとづいている。使用されている基本的な協和音の響きは、マイナーセブンスが加えられた短3和音である。

もう1つの興味深いアプローチは2つの8平均律(狭い12/11中立2度をもつ)を折り合わせたものとして解釈することである。16平均律は2つの長7度をもつ。1316の、周波数比7/4に近い、6.174セントシャープされたハーモニックセブンスと、11リミットの11/6または中立7度である。11/6は長7度として16番目のMavilaにマッピングされる。もし19倍音の近似(19/16297.5セント)として300セントの短3度を取るなら、ハーモニックセブンス(7/4)の近似であるもう1つの倍音を加え16:19:28のトライアドを形作る。

28倍音と19倍音の間にある音程、28:19671.3セントと計算できるが、それは3.7セント16平均律の「狭い5度」から離れている。このもう一つのコードボイシングは、外側の音程として19:14528.7セント。16平均律では525.0セント)の特徴をもつ14:16:19である。おそらくより協和するオープンボイシングは7:16:19だろう。

16音階記譜法

16平均律記譜法は簡単に、キー、名前、それぞれの記譜法に関してゴールドスミスの円を利用できる。6線譜のための名前はWilsonBetaEpsilonAからGに加えたものに切り替えることができる。イタリアのArmodue16平均律のために4線譜を使っている。

16平均律のダイアトニックスケールは、25セント上がったスーパーフォース(superfourth)と、25セント引かれた5度の近似が結合しているため、不協和であり、「チラチラ光る」。音階は4ステップサイズを要求する16平均律のハーモニックマイナースケールに似ている。

Mavila[7]のようなMOS音階(または「逆ダイアトニック」(Inverse/Anti-Diatonic)と呼ばれるダイアトニックのステップサイズを逆にしたもの。ヘプタトニックバージョンの場合、LLsLLLsからssLsssLにする)は、伝統的なダイアトニックの代わりとして機能する。16平均律の6線譜、Mavila-[9]譜はまさにこれであり、9つの一般的な白鍵にアレンジされた上で(222122221)配置することができる。23平均律キーボードもまたMavila-[9]6線譜で機能し、16平均律の1/3音として記譜できる。もし9MOS音階(Nonatonic)を16平均律に適合させるなら、そのときたぶんオクターブを2/1とみなすことに頷ける。この時デカーブ(Decave)と呼ぶのかもしれない(7音音階でオクターブ(8音)になるのだから)。

Paul Erlichが以下を書いた
 慣習的な12平均律ダイアトニックやペンタトニック(ミーントーン)スケールのようなものは、フォッカー(Fokker)の周期的ブロックからうまれた、ユニゾンベクトルのテンパーアウトから上げられている。16平均律だけ、ユニゾンベクトルは81:80の代わりに135:128である。

ランク2テンペラメント

悪い16ETランク2テンペラメントのリスト

Periods
per octave
Generator
Temperaments
1
1\16
Valentine, slurpee
1
3\16
Gorgo
1
5\16
Messed-up magic/muggles
1
7\16
Mavila/armodue
2
1\16
Bipelog
2
3\16
Lemba, astrology
4
1\16
Diminished/demolished
8
1\16

Mavila

[5]:
5 2 5 2 2

[7]:
3 2 2 3 2 2 2

[9]:
1 2 2 2 1 2 2 2 2

Diminished

[8]: 1 3 1 3 1 3 1 3
[12]: 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2

Magic

[7]: 1 4 1 4 1 4 1
[10]: 1 3 1 1 3 1 1 1 3 1
[13]: 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1

Cynder/Gorgo

[5]: 3 3 4 3 3
[6]: 3 3 1 3 3 3
[11]: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

Lemba

[6]: 3 2 3 3 2 3
[10]: 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2

Igliashon Jonesが以下を書いた
16平均律の問題は、長3度と4度の間、同様に4度と5度(例えば12//11の近く)に距離があるという事実である。これは135/12816/159/8の間の差)をテンパーアウトすることを意味する。

16平均律におけるMavila/Armodueの調和

16平均律が全く3/2に近くないため、3和音の響きは3度重ねを基本的には使用しない。しかしながら、3和音の響きは3度というよりむしろ7度にある。例えば16平均律では、通常3/2を使うところ、代わりに7/4で使えるほど十分に近い。3和音はもう1つのセブンスを加えることで構築される。非対称性のセブンス3和音のため、2つの可能性を生み出す。小さな一つ目は、0-975-1050のハード(hard)と呼ばれるものであり、もう一つの大きい方は0-1050-975のソフト(soft)と呼ばれるものである。2つの対照的な3和音0-975-9750-1050-1050はまた、明らかにコードの可能性がある。それらの特徴はメタリックトライアド(Metallic triads)と名付けられた金属的な音がすることである。

MOSはメタリックハーモニーをサポートする

Mavila[7]は音程14の上に2つのハード3和音をもつ。また、音程26の上に2つのソフト3和音を持つ。他の3つのコードは幅広い対照的な0-1050-10503和音である。Mavila[9]Wilson音階が新たに2つのハード3和音を作成する一方、新たに2つのソフト3和音を生成する。

Metallic Harmonyも参照のこと。

コンマをなだらかにする

16平均律を< 16 25 37 45 55 59 |ヴァルとみなした時、次のリストのコンマをテンパーアウトする。

Comma
Monzo
Value (Cents)
Name 1
Name 2
Name 3
135/128
| -7 3 1 >
92.18
Major Chroma
Major Limma
Pelogic Comma
648/625
| 3 4 -4 >
62.57
Major Diesis
Diminished Comma

3125/3072
| -10 -1 5 >
29.61
Small Diesis
Magic Comma

1212717/1210381
| 23 6 -14 >
3.34
Vishnuzma
Semisuper

36/35
| 2 2 -1 -1 >
48.77
Septimal Quarter Tone


525/512
| -9 1 2 1 >
43.41
Avicennma
Avicenna's Enharmonic Diesis

50/49
| 1 0 2 -2 >
34.98
Tritonic Diesis
Jubilisma

64827/64000
| -9 3 -3 4 >
22.23
Squalentine


3125/3087
| 0 -2 5 -3 >
21.18
Gariboh


126/125
| 1 2 -3 1 >
13.79
Septimal Semicomma
Starling Comma

1029/1024
| -10 1 0 3 >
8.43
Gamelisma


6144/6125
| 11 1 -3 -2 >
5.36
Porwell


121/120
| -3 -1 -1 0 2 >
14.37
Biyatisma


176/175
| 4 0 -2 -1 1 >
9.86
Valinorsma


385/384
| -7 -1 1 1 1 >
4.50
Keenanisma


441/440
| -3 2 -1 2 -1 >
3.93
Werckisma


3025/3024
| -4 -3 2 -1 2 >
0.57
Lehmerisma



Armodue理論(4線譜)

Armodue16音(esadekaphonic)システムのためのイタリアページ。作曲法も含んでいる。翻訳したものはここを参照。

/文献

Sword, Ronald. "Thesaurus of Melodic Patterns and Intervals for 16-Tones" IAAA Press, USA. First Ed: August, 2011
Sword, Ronald. "Hexadecaphonic Scales for Guitar." IAAA Press, UK-USA. First Ed: Feb, 2010. (superfourth tuning)
Sword, Ronald. "Esadekaphonic Scales for Guitar." IAAA Press, UK-USA. First Ed: April, 2009. (semi-diminished fourth tuning)

作品

Prenestyna Highway by Fabrizio Fulvio Fausto Fiale
Enantiodromia (album) by Last Sacrament
Tribute to Armodue by Aeterna
Etude in 16-tone equal tuning play (organ version) by Herman Miller
16-tone steel string acoustic diddle by Ron Sword
Armodue78 by Jean-Pierre Poulin
Palestrina Morta, fantasia quasi una sonata by Fabrizio Fulvio Fausto Fiale
Comets Over Flatland 5 by Randy Winchester
Malathion by Chris Vaisvil
Being of Vesta by Chris Vaisvil
Thin Ice by Chris Vaisvil ; information on the composition
Mavila Jazz Groove by William Lynch
Cold, Dark Night for a Dance by William Lynch